Cette thèse de doctorat est principalement consacrée à l'étude mathématique du vide de Dirac, potentiellement en présence d'un champ électromagnétique et d'électrons. Ce système est décrit à l'aide de modèles non linéaires issus d'approximations de champ moyen de l'électrodynamique quantique. Dans le Chapitre 2, on étudie la dynamique d'un nombre fini d'électrons relativistes interagissant avec un nombre fini de noyaux classiques dans la mer de Dirac, en prouvant que le problème de Cauchy correspondant est globalement bien posé. Dans le Chapitre 3, on fournit la première dérivation rigoureuse du lagrangien magnétique effectif à une boucle à température positive, une fonctionnelle non linéaire décrivant l'énergie libre du vide de Dirac dans un champ magnétique classique. Finalement, dans le Chapitre 4, on présente quelques résultats numériques concernant un modèle unidimensionnel décrivant un atome hydrogénoïde relativiste. En particulier, on propose une approche pour calculer la polarisation du vide ainsi que le décalage de Lamb dans une approximation de base finie.