Variétés de courbure de Ricci presque minorée: inégalités géométriques optimales et stabilité des variétés extrémales - Laboratoire Jean-Alexandre Dieudonné Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2003

Variétés de courbure de Ricci presque minorée: inégalités géométriques optimales et stabilité des variétés extrémales

Erwann Aubry

Résumé

We study the geometry of manifolds whose Ricci curvature is almost bounded from below (i.e. such that, for a fixed real $k$, a $L^p$ norm of the function $(\underline(\rm Ric)-k)^-$ is small, where $\underline(\rm Ric)(x)$ is the smallest eigenvalue of the Ricci curvature at $x$). We prove, under this assumption, the extensions of the classical geometric inequalities of Myers, Bishop-Gromov, Lichnerowicz,...; we then characterize the almost extremal manifolds (extending some results of T.~Colding and P.~Petersen). For closed Riemannian manifolds $M^n$ with almost positive Ricci curvature, the Hodge-Laplacian on 1-forms admits at most $n$ small eigenvalues. If there are exactly $n$ small eigenvalues ($n-1$ are sufficient if $M$ is orientable) then $M$ is diffeomorphic to a nilmanifold, and the metric is almost left-invariant. These results are applications of analytic estimates established in the first part of the thesis.
On s'intéresse à la géométrie des variétés de courbure de Ricci presque supérieure à $k$ (i.e. telle qu'une norme $L^p$---locale ou globale---de la fonction $(\underline(\rm Ric)-k)^-$ soit petite, où $\underline(\rm Ric)(x)$ est la plus petite valeur propre de la courbure de Ricci en $x$). On démontre sous cette hypothèse les équivalents des inégalités géométriques classiques de Myers, de Bishop-Gromov, de Lichnerowicz,... puis on caractérise les variétés qui réalisent presque les cas d'égalité (généralisant des travaux de T.~Colding et de P.~Petersen). Sur une variété compacte $M^n$ de courbure presque positive, le laplacien sur les 1-formes a au plus $n$ petites valeurs propres. S'il a exactement $n$ petites valeurs propres ($n-1$ suffisent si $M$ est orientable) alors $M$ est difféomorphe à une Nilvariété et la métrique est presque invariante à gauche. Ces résultats découlent d'estimées analytiques établies dans la première partie de la thèse.
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Dates et versions

tel-00004006 , version 1 (17-12-2003)

Identifiants

  • HAL Id : tel-00004006 , version 1

Citer

Erwann Aubry. Variétés de courbure de Ricci presque minorée: inégalités géométriques optimales et stabilité des variétés extrémales. Mathématiques [math]. Université Joseph-Fourier - Grenoble I, 2003. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00004006⟩
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