Variétés de courbure de Ricci presque minorée: inégalités géométriques optimales et stabilité des variétés extrémales
Résumé
We study the geometry of manifolds whose Ricci curvature is almost bounded from below (i.e. such that, for a fixed real $k$, a $L^p$ norm of the function $(\underline(\rm Ric)-k)^-$ is small, where $\underline(\rm Ric)(x)$ is the smallest eigenvalue of the Ricci curvature at $x$). We prove, under this assumption, the extensions of the classical geometric inequalities of Myers, Bishop-Gromov, Lichnerowicz,...; we then characterize the almost extremal manifolds (extending some results of T.~Colding and P.~Petersen). For closed Riemannian manifolds $M^n$ with almost positive Ricci curvature, the Hodge-Laplacian on 1-forms admits at most $n$ small eigenvalues. If there are exactly $n$ small eigenvalues ($n-1$ are sufficient if $M$ is orientable) then $M$ is diffeomorphic to a nilmanifold, and the metric is almost left-invariant. These results are applications of analytic estimates established in the first part of the thesis.
On s'intéresse à la géométrie des variétés de courbure de Ricci presque supérieure à $k$ (i.e. telle qu'une norme $L^p$---locale ou globale---de la fonction $(\underline(\rm Ric)-k)^-$ soit petite, où $\underline(\rm Ric)(x)$ est la plus petite valeur propre de la courbure de Ricci en $x$). On démontre sous cette hypothèse les équivalents des inégalités géométriques classiques de Myers, de Bishop-Gromov, de Lichnerowicz,... puis on caractérise les variétés qui réalisent presque les cas d'égalité (généralisant des travaux de T.~Colding et de P.~Petersen). Sur une variété compacte $M^n$ de courbure presque positive, le laplacien sur les 1-formes a au plus $n$ petites valeurs propres. S'il a exactement $n$ petites valeurs propres ($n-1$ suffisent si $M$ est orientable) alors $M$ est difféomorphe à une Nilvariété et la métrique est presque invariante à gauche. Ces résultats découlent d'estimées analytiques établies dans la première partie de la thèse.
Mots clés
Géométrie riemannienne
Nilvariétés
Inégalités de Harnack
Inégalités de Sobolev
Laplacien plus potentiel sur des fibrés
Trivialisation des fibrés
Théorèmes de stabilité
Théorème de pincement
Intégrales de courbure
Distance de Gromov-Hausdorff
Théorèmes de la sphère
Inégalités pour le volume
le diamètre
le spectre du laplacien
Courbure et topologie