Global L^p Carleman estimates
Estimées de Carleman L^p globales
Résumé
In this thesis, we study L^p Carleman inequalities for elliptic problems and their applications to the quantification of unique continuation with respect to perturbations of the Laplacian. We first focus on L^p Carleman inequalities on a strip of R^d (dgeq 3) , denoted mathcal{S}:= (0,1) imes R^{d-1} , for the Laplacian. Using the Fourier transform and a factorisation of the conjugate operator, we reduce the proof of these inequalities to the construction of a parametrix for the Laplacian problem with boundary conditions. Utilising this parametrix, we first reprove classical L^2 Carleman inequalities for the Laplacian. Then, applying harmonic analysis techniques, particularly the Fourier restriction theorem to establish L^p-L^q type continuity results, we obtain L^p - L^q estimates for this parametrix.We then apply these methods to the case of interest, namely L^p Carleman inequalities for the Laplacian defined on Omega , a bounded and regular open subset of R^d (d geq 3) , with a right-hand side f_2 + f_{2 *'} + div F , f_2 in L^2(Omega), , f_{2 *'} in L^{ frac{2d}{d+2}}(Omega), ,F in L^2(Omega; C^{d}) , and a Dirichlet condition g in H^{frac{1}{2}}(partial Omega) . We establish two global Carleman estimates: one on the H^1 norm of the solution and another on its L^{frac{2d}{d-2}} norm, in terms of weighted L^2 norms of f_2 and F , the L^{frac{2d}{d+2}} norm of f_{2 *'} , and the H^{frac{1}{2}} norm of g . This allows us, for example, to obtain a quantification of unique continuation for solutions of Delta u = V u + W_1 cdotabla u + div(W_2 u) in terms of the norms of V in L^{q_0}(Omega) , W_1 in L^{q_1}(Omega) , and W_2 in L^{q_2}(Omega) for q_0 in (d/2, infty] and q_1 and q_2 satisfying either q_1, , q_2 > (3d-2)/2 and frac{1}{q_1} + frac{1}{q_2}< 4(1-frac{1}{d})/(3d-2) , or q_1, , q_2 > 3d/2 .In the third part, we study a quantification of unique continuation for solutions of the equation Delta u = V u + W_1 cdotabla u + div(W_2 u) but with first-order potentials that are more singular in the limit integrability class. In particular, we consider the case where W_1 in L^{q_1} and W_2 in L^{q_2} , with q_1 > d and q_2 > d . Using T. Wolff's lemma on Euclidean measures and a refined version of Carleman estimates, we obtain unique continuation quantification results for solutions u of Delta u = V u + W_1 cdotabla u + div(W_2 u) in terms of the norms of the potentials.
Dans cette thèse, on étudie des inégalités de Carleman L^p pour des problèmes elliptiques et leurs applications à la quantification du prolongement unique par rapport aux perturbations du laplacien. On s'intéresse d'abord aux inégalités de Carleman L^p sur une bande de R^d (dgeq 3), notée mathcal{S}:= (0,1) imes R^{d-1}, pour le Laplacien. Grâce à la transformée de Fourier et une factorisation de l'opérateur conjugué, nous réduisons la démonstration de ces inégalités à la construction d'une paramétrice pour le problème du Laplacien avec des conditions au bord.En utilisant cette paramétrice, on redémontre d'abord des inégalités classiques de Carleman L^2 pour le Laplacien. Ensuite, en appliquant des techniques d'analyse harmonique, notamment le théorème de restriction de Fourier pour établir des résultats de continuité de type L^p-L^q , on obtient des estimations L^p - L^q sur cette paramétrice.On applique ensuite ces méthodes au cas qui nous intéresse, à savoir les inégalités de Carleman L^p pour le Laplacien défini sur Omega , un ouvert borné et régulier de R^d (dgeq 3) , avec un second membre f_2 + f_{2 *'} + div F , f_2 in L^2(Omega), , f_{2 *'} in L^{ frac{2d}{d+2}}(Omega), ,F in L^2(Omega; C^{d}), et une condition de Dirichlet g in H^{frac{1}{2}}(partial Omega) . On montre deux estimations de Carleman globales : une sur la norme H^1 de la solution et une sur sa norme L^{frac{2d}{d-2}} , en termes de normes L^2 à poids de f_2 et F , de la norme L^{frac{2d}{d+2}} de f_{2 *'} et de la norme H^{frac{1}{2}} de g . Cela nous permet, par exemple, d'obtenir une quantification du prolongement unique pour les solutions de Delta u = V u + W_1 cdotabla u + div(W_2 u) en fonction des normes de V dans L^{q_0}(Omega) , de W_1 dans L^{q_1}(Omega) et de W_2 dans L^{q_2}(Omega) pour q_0 in (d/2, infty] et q_1 et q_2 satisfaisant soit q_1, , q_2 > (3d-2)/2 et frac{1}{q_1} + frac{1}{q_2}< 4 (1-frac{1}{d})/(3d-2) , soit q_1, , q_2 > 3d/2 .Dans une troisième partie, on étudie une quantification du prolongement unique des solutions de l'équation Delta u = V u + W_1 cdotabla u + div(W_2 u) mais avec des potentiels d'ordre un plus singuliers dans la classe limite d'intégrabilité. En particulier, on considère le cas W_1 in L^{q_1} et W_2 in L^{q_2} , avec q_1>d et q_2 >d . En utilisant le lemme de T. Wolff sur les mesures euclidiennes et une version raffinée des estimations de Carleman, on obtient des résultats de quantification du prolongement unique pour les solutions u de Delta u = V u + W_1 cdotabla u + div (W_2 u) en fonction des normes des potentiels.
Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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