Thèse Année : 2024

Stochastic branching processes with selection

Modèles stochastiques de branchement-sélection

Résumé

The central object of this thesis is a particle system called the $N$-branching Markov process, which generalizes the $N$-branching Brownian motion studied by Maillard in 2016: we start with $N$ particles at initial positions $x_1 ,... , x_N$; each particle then moves along the real line following the distribution of a given time-homogeneous Markov process (referred to as the underlying process), independently on the other trajectories. Furthermore, each particle branches at rate 1: after an exponentially $E(1)$-distributed random time, it gives birth to a new particle at the same position. Finally, simultaneously with the appearance of a new particle in the system at each branching instant, the particle with the lowest position is removed from the system. This selection step maintains a population size equal to $N$ at all times. Our main results address the existence of a hydrodynamic limit for this particle system, i.e. the existence of a limit for the empirical c.d.f. associated with this process, when the population size $N$ goes to infinity. Under certain regularity assumptions, we show that this empirical c.d.f. converges to the c.d.f. of the underlying process conditioned on not having crossed a certain boundary, which is characterized as the solution of the inverse first-passage time problem with $E(1)$ exponential distribution for the underlying process. Our strategy of proof uses a coupling with auxiliary processes whose construction makes use of a stochastic monotonicity assumption on the underlying process. In connection with this proof, we establish in a general context the existence of an order-preserving coupling between several trajectories of the same Markov process satisfying the stochastic monotonicity assumption and the Feller property. Finally, we also address a second problem, the mean field optimal transport problem, with a numerical point of view: we develop three deep learning methods designed to obtain approximate solutions to this problem, and implement them in various test cases.
L’objet central de cette thèse est un système de particules appelé $N$-processus de Markov branchant qui généralise le $N$-mouvement brownien branchant étudié par Maillard en 2016 : on part de $N$ particules aux positions initiales $x_1 , · · · , x_N$; chaque particule se déplace alors sur la droite réelle suivant la loi d’un processus markovien homogène en temps donné (on parle de processus sous-jacent), indépendamment des autres trajectoires. De plus, chaque particule branche à taux 1 : c’est-à-dire qu’après une durée aléatoire de loi exponentielle $E(1)$, celle-ci se duplique pour donner naissance à deux nouvelles particules à la même position. Enfin, simultanément à l’apparition d’une nouvelle particule dans le système à chaque instant de branchement, on retire du système la particule dont la position est la plus basse. Cette étape de sélection permet de conserver à tout instant une taille de population égale à $N$. Nos principaux résultats concernent l’existence d’une limite hydrodynamique pour ce système de particules, c’est-à-dire l’existence d’une limite pour la fonction de répartition empirique associée à ce processus, quand la taille de population $N$ tend vers l’infini. Sous certaines hypothèses de régularité, nous démontrons que cette fonction de répartition empirique converge vers la fonction de répartition de la loi du processus sous-jacent conditionné à ne pas avoir franchi une certaine frontière, cette dernière étant caractérisée comme solution du problème inverse du premier temps de passage avec loi exponentielle $E(1)$ pour le processus sous-jacent. Notre stratégie de preuve utilise un couplage avec des processus auxiliaires dont la construction fait appel à une hypothèse de monotonie stochastique sur le processus sous-jacent. En lien avec cette preuve, nous établissons dans un contexte général l’existence d’un couplage préservant l’ordre, entre plusieurs trajectoires d’un même processus de Markov satisfaisant l’hypothèse de monotonie stochastique et la propriété de Feller. Enfin, nous nous intéressons par ailleurs à un second problème, celui du transport optimal en champ moyen, avec un point de vue entièrement numérique : nous développons trois méthodes d’apprentissage profond fournissant des solutions approchées de ce problème et les mettons en œuvre dans différents cas tests.
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  • HAL Id : tel-04834834 , version 1

Citer

Brieuc Frénais. Stochastic branching processes with selection. Mathematics [math]. Université de Strasbourg, 2024. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-04834834v1⟩
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