Concentration phenomenon for geometric nonlinear elliptic equations
Phénomène de concentration pour des
problèmes non linéaires issus de la géométrie
Résumé
In this Thesis, we study concentration phenomena for geometrical nonlinear elliptic equations : the existence of constant r-curvature hypersurfaces in Riemannian manifolds. ( The r-mean curvature of a hypersurfave is defined to be the r-th elementary symmetric function of the principal curvature of the hypersurface). We give in this thesis some results of existence of such a submanifolds. Moreover, the
examples we build highlight a concentration phenomena along submanifolds, phenomena associated with a resonance phenomena which returns the analysis of these objects particularly delicate and which one meets in the study of many other nonlinear problems : nonlinear Schrödinger equations, singularly perturbed problems, reaction-diffusion systems, ...
examples we build highlight a concentration phenomena along submanifolds, phenomena associated with a resonance phenomena which returns the analysis of these objects particularly delicate and which one meets in the study of many other nonlinear problems : nonlinear Schrödinger equations, singularly perturbed problems, reaction-diffusion systems, ...
L'objet de cette thèse est l'étude d'un phénomène de concentration pour une série de problèmes non linéaires issus de la géométrie : l'existence d'hypersurfaces plongées dans une variété Riemannienne dont la r-courbure moyenne est constante. (La r-courbure moyenne d'une hypersurface est la rième fonction symétrique de la
courbure principale de l'hyersurface). Nous donnons dans cette thèse quelques résultats d'existence de telles hypersurfaces. En outre, les exemples que nous construisons mettent en évidence un phénomène de concentration le long de sous variétés, phénomène
associé à un phénomène de résonance qui rend l'analyse de ces objets particulièrement délicate et que l'on rencontre dans l'étude de nombreux autres problèmes non-linéaires, équation de Schrödinger non linéaire, problème de perturbations singulière,
système de réaction-diffusion,...
courbure principale de l'hyersurface). Nous donnons dans cette thèse quelques résultats d'existence de telles hypersurfaces. En outre, les exemples que nous construisons mettent en évidence un phénomène de concentration le long de sous variétés, phénomène
associé à un phénomène de résonance qui rend l'analyse de ces objets particulièrement délicate et que l'on rencontre dans l'étude de nombreux autres problèmes non-linéaires, équation de Schrödinger non linéaire, problème de perturbations singulière,
système de réaction-diffusion,...
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