Statistical analysis of the multifractal random walk processes - Laboratoire d'Analyse et de Mathématiques Appliquées Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2010

Statistical analysis of the multifractal random walk processes

Analyse statistique des processus de marche aléatoire multifractale

Résumé

We study some properties of a class of real-valued, continuous-time random processes, namely multifractal random walks. A striking feature of these processes lies in their scaling property: the distribution of the process at small scales is the same as the distribution at large scales, given some random factor independent of the process. The first part of the dissertation concerns the convergence of the empirical moment of the increment of the process, in a rather general asymptotic setting where the step of the increment may go to zero while the observation horizon may also go to infinity. In the second part, we propose a family of nonparametric tests that separate multifractal random walks from Itô semi-martingales. After showing the consistency of these tests, we study their behavior on simulations. In the third part, we build a skewed multifractal random walk process, such that the past increment is negatively correlated with the future squared increment. Such a "leverage effect" is notably seen on financial stock and index prices. We compare the empirical properties of the obtained process with real data. The fourth part deals with the parametric estimation of the process in a Gaussian case. We first show that under certain conditions, one can not estimate two of the three parameters, even if the sample path is continuously observed on some interval. We next study the theoretical and empirical performances of some estimators of the third parameter, the intermittency coefficient.
On étudie certaines propriétés d'une classe de processus aléatoires réels à temps continu, les marches aléatoires multifractales. Une particularité remarquable de ces processus tient en leur propriété d'autosimilarité : la loi du processus à petite échelle est identique à celle à grande échelle moyennant un facteur aléatoire et indépendant du processus. La première partie de la thèse se consacre à la question de la convergence du moment empirique de l'accroissement du processus dans une asymptotique assez générale, où le pas de l'accroissement peut tendre vers zéro en même temps que l'horizon d'observation tend vers l'infini. La deuxième partie propose une famille de tests non-paramétriques qui distinguent entre marches aléatoires multifractales et semi-martingales d'Itô. Après avoir montré la consistance de ces tests, on étudie leur comportement sur des données simulées. On construit dans la troisi\ème partie un processus de marche aléatoire multifractale asymétrique tel que l'accroissement passé soit négativement corrélé avec le carré de l'accroissement futur. Ce type d'"effet levier" est notamment observé sur les prix d'actions et d'indices financiers. On compare les propriétés empiriques du processus obtenu avec des données réelles. La quatrième partie concerne l'estimation des paramètres du processus dans un cas gaussien. On commence par montrer que sous certaines conditions, deux des trois paramètres ne peuvent être estimés. On étudie ensuite les performances théoriques et empiriques de différents estimateurs du troisième paramètre, le coefficient d'intermittence.
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Dates et versions

tel-00567397 , version 1 (21-02-2011)
tel-00567397 , version 2 (27-09-2011)

Identifiants

  • HAL Id : tel-00567397 , version 1

Citer

Laurent Duvernet. Statistical analysis of the multifractal random walk processes. Mathematics [math]. Université Paris-Est, 2010. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00567397v1⟩
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