Approximation of compressible viscoplastic models with general nonlinearity for granular flows - Laboratoire d'Analyse et de Mathématiques Appliquées Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2020

Approximation of compressible viscoplastic models with general nonlinearity for granular flows

Analyse et approximation des modèles viscoplastiques compressibles avec non-linéarité générale pour les écoulements granulaires

Résumé

This thesis is motivated by a research program between the LAMA (Mathematics, Univ. Gustave Eiffel) and the Institut de Physique du Globe of Paris (Earth Sciences) on granular media and their mathematical description. We consider here a continuous description: the material is described as a fluid with viscoplastic rheology, that allows us to model the transition between static (solid) states and mobile (liquid) states. Incompressible models have been used since the introduction of the so called mu(I) rheology (Jop et al. 2006). However such models do not represent accurately real flows, even in laboratory experiments. Recent studies indicate that volume variations, even if not significantly large, play a key role in the dynamics. Therefore compressible models have been recently considered (Barker et al. 2017). Although particular rheologies such as Bingham or Herschel-Bulkley models have been often considered in mathematical studies such as Malek et al. 2010, not much can be found on general nonlinearities in terms of the trace and the norm of the strain rate tensor. We consider here compressible models with general nonlinearities sigmainpartial F(D) where sigma is the stress, D is the strain rate and F is a convex viscoplastic potential. Under technical assumptions on F such as subquadratic growth and superlinearity we prove the existence of solutions to the associated variational problem. This is obtained in the viscous as well as in the inviscid cases. We establish Euler-Lagrange characterizations of these solutions. No regularity is assumed on F, thus yield stress rheologies are included. Numerical methods for viscoplastic laws have been classically used: augmented Lagrangian or regularization methods. However these methods were designed merely for Bingham or Herschel-Bulkley fluids, and moreover their cost is still too high for applications to real configurations. Here we consider an iterative but explicit method in the sense that there is no linear system to solve, inherited from the minimizing of total variation functionals used in imaging (Chambolle, Pock 2011). It is applicable to any kind of nonlinearity, and includes a kind of projection on some convex sets. We prove the convergence of the method discretized in space with finite elements. Numerical tests confim the theoretical results
Cette thèse est motivée par un programme de recherche entre le LAMA (Mathématiques, Univ.Gustave Eiffel) et l’Institut de Physique du Globe de Paris (Sciences de la terre) sur les milieux granulaires et leur description mathématique. Nous considérons ici une description continue: le matériau est décrit comme un fluide avec rhéologie viscoplastique, qui permet de modéliser la transition entre les états statiques (solides) et mobiles(liquides). Des modèles incompressibles ont été utilisés depuis l’introduction de la rhéologie µ(I)(Jop et al. 2006). Néanmoins de tels modèles ne représentent pas correctement les écoulements réels, même dans les expériences de laboratoire. Des études récentes indiquent que les variations de volume, même si elles ne sont pas significativement grandes, jouent un rôle prépondérant dans la dynamique. Des modèles compressibles ont alors été considérés récemment (Barker et al. 2017). Bien que des rhéologies particulières telles que Bingham ou Herschel-Bulkley aient été souvent considérées dans les études mathématiques telles que Malek et al. 2010, peu d’études concernent des non linéarités générales en terme de la trace et de la norme du tenseur de taux de déformation. Nous considérons ici des modèles compressibles avec non linéarité générale σ ∈ ∂F(D) où σ est le tenseur des contraintes du taux de déformation, et F est un potentiel viscoplastique convexe. Sous des hypothèses techniques sur F telles qu’une croissance sous-quadratique et une sur-linéarité, nous prouvons l’existence de solutions au problème variationnel associé. Cela est obtenu dans le cas visqueux aussi bien que dans le cas non visqueux. Nous établissons des caractérisations d’Euler-Lagrange de ces solutions. Aucune régularité n’est supposée sur F, et donc les rhéologies avec seuil de plasticité sont incluses. Des méthodes numériques pour les problèmes viscoplastiques ont été classiquement considérées: lagrangien augmenté ou régularisation. Cependant ces méthodes ont été mises au point essentiellement pour les fluides de Bingham ou d’Herschel-Bulkley, et de plus leur coût est encore trop élevé pour les applications aux configurations réelles. Ici nous considérons une méthode itérative mais explicite, dans le sens o`u il n’y a pas de système linéaire à résoudre, héritée de la minimisation de fonctionnelles de type variation totale utilisée en imagerie (Chambolle, Pock2011). Elle est applicable à n’importe quelle forme de non linéarité, et fait intervenir une sorte de projection sur des ensembles convexes. Nous prouvons la convergence de la méthode discrétisée en espace avec des éléments finis. Des tests numériques confirment les résultats théoriques
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Origine : Version validée par le jury (STAR)

Dates et versions

tel-03337186 , version 1 (07-09-2021)

Identifiants

  • HAL Id : tel-03337186 , version 1

Citer

Hoai-Duc Nguyen. Approximation of compressible viscoplastic models with general nonlinearity for granular flows. Mechanics of materials [physics.class-ph]. Université Paris-Est, 2020. English. ⟨NNT : 2020PESC2044⟩. ⟨tel-03337186⟩
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