On the moment method for inhomogeneous matrices : From regular graphs to quantum channels - Laboratoire d'Analyse et de Mathématiques Appliquées
Thèse Année : 2024

On the moment method for inhomogeneous matrices : From regular graphs to quantum channels

Sur la méthode des moments pour les matrices inhomogènes : ses graphes réguliers aux canaux quantiques

Résumé

This thesis studies the spectral statistics of inhomogeneous random matrices, such as weighted random graphs, covariance matrices, and quantum channels. One of the main proof techniques is adapting the moment method to these models. Our objectives are twofold. First, we investigate the limiting spectral distribution of regular directed graphs, quantum channels, and tensor products of non-commutative random variables. Second, we establish precise asymptotic and non-asymptotic bounds on the norm of such matrices and their quadratic forms.To achieve our objectives, in the first part, we show the convergence of large directed d-regular graphs G_n in n vertices, analyze the combinatorics of its moments, and explore the connection between random uniformly chosen regular digraphs, the infinite regular directed tree, and the oriented Kesten-McKay conjecture. We also work on its quantum counterpart, which is known as quantum channels. We will derive a free central limit theorem with the semi-circle law as the limit. Additionally, we extend the notion of quantum channels to non-commutative probability spaces and algebras and prove a central limit theorem for these variables. We show that the limit is the semi-circle law if and only if the variables are centered; otherwise, the limit can be written as a free convolution of the semi-circle law and an explicit probability measure.In the second part, we examine regular weighted graphs whose adjacency matrices X_n are formed by taking the Hadamard product of the adjacency matrix of the graph and a weighted matrix. We prove that when the weights are subgaussian random variables, the norm of the inhomogeneous random matrix X_n shows a sharp transition around dsim log n, indicating the presence of outliers. Additionally, we investigate the centered quadratic form X_nX^t_n - mathbb{E} [X_nX^t_n] and provide precise upper bounds on its norm, which is known as the covariance estimation problem. We present examples that improve upon previous works and also lower bounds
Cette thèse étudie les statistiques spectrales de matrices aléatoires inhomogènes, telles que les graphes aléatoires pondérés, les matrices de covariance et les canaux quantiques. L'une des principales techniques de preuve est l'adaptation de la méthode des moments à ces modèles. Nos objectifs sont doubles. Premièrement, nous étudions la distribution spectrale limite des graphes dirigés réguliers, des canaux quantiques et des produits tensoriels de variables aléatoires non commutatives. Deuxièmement, nous établissons des limites asymptotiques et non asymptotiques précises sur la norme de ces matrices et de leurs formes quadratiques. Pour atteindre nos objectifs, dans la première partie, nous montrons la convergence des grands graphes aléatoires dirigés d-réguliers G_n en n sommets, analysons la combinatoire de leurs moments, et explorons la connexion entre les digraphes réguliers aléatoires uniformément choisis, l'arbre régulier dirigé infini, et la conjecture orientée de Kesten-McKay. Nous travaillons également sur sa contrepartie quantique, connue sous le nom de canaux quantiques. Nous déduisons un théorème central limite libre avec la loi du demi-cercle comme la limite. En outre, nous étendons la notion de canaux quantiques aux espaces et algèbres de probabilité non commutatifs et prouvons un théorème de limite centrale pour ces variables. Nous montrons que la limite est la loi du demi-cercle si et seulement si les variables sont centrées ; sinon, la limite peut être écrite comme une convolution libre de la loi du demi-cercle et des lois gaussiennes.Dans la deuxième partie, nous examinons les graphes réguliers pondérés dont les matrices d'adjacence X_n sont formées en prenant le produit d'Hadamard de la matrice d'adjacence du graphe et d'une matrice pondérée. Nous prouvons que lorsque les poids sont des variables aléatoires sousgaussiennes, la norme de la matrice aléatoire inhomogène X_n présente une transition abrupte autour de dsim log n, indiquant la présence de valeurs aberrantes. En outre, nous étudions la forme quadratique centrée X_nX^t_n - mathbb{E} [X_nX^t_n] et fournissons des estimations précises de sa norme, ce qui est connu comme le problème d'estimation de la covariance. Nous présentons des exemples qui améliorent les travaux précédents ainsi que des limites inférieures
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Origine Version validée par le jury (STAR)

Dates et versions

tel-04751638 , version 1 (24-10-2024)

Identifiants

  • HAL Id : tel-04751638 , version 1

Citer

Patrick Oliveira Santos. On the moment method for inhomogeneous matrices : From regular graphs to quantum channels. Mathematics [math]. Université Gustave Eiffel, 2024. English. ⟨NNT : 2024UEFL2025⟩. ⟨tel-04751638⟩
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