A universal variational framework for parabolic equations and systems
Un cadre variationnel universel pour les équations et systèmes paraboliques
Résumé
We propose a variational approach to solve Cauchy problems for parabolic equations and systems independently of regularity theory for solutions. This produces a universal and conceptually simple construction of fundamental solution operators (also called propagators) for which we prove ${L}^2$ off-diagonal estimates, which is new under our assumptions. In the special case of systems for which pointwise local bounds hold for weak solutions, this provides Gaussian upper bound for the corresponding fundamental solution. In particular, we obtain a new proof of Aronson's estimates for real equations. The scheme is general enough to allow systems with higher order elliptic parts on full space or second order elliptic parts on Sobolev spaces with boundary conditions. Another new feature is that the control on lower order coefficients is within critical mixed time-space Lebesgue spaces or even mixed Lorentz spaces.
On présente une approche variationnelle qui permet de résoudre le problème de Cauchy pour les équations et systèmes paraboliques, indépendamment de la régularité des solutions. On construit ainsi un objet universel et simple qu'on peut appeler l'opérateur solution fondamentale, ou encore le propagateur, pour lequel on démontre les estimations hors-diagonales du type Gaffney, qui sont nouvelles sous nos hypothèses. Dans le cas spécial des systèmes dont les solutions faibles vérifient des bornes locales ponctuelles, cela fournit des estimations ponctuelles pour le noyau distribution correspondant. En particulier, on obtient une nouvelle preuve du résultat d'Aronson pour les équations réelles. La méthode est telle qu'on peut la généraliser sans peine à tout ordre et aux problèmes d'ordre 2 avec conditions aux limites. Une autre nouveauté est le fait que le construction s'applique dans le cas de coefficients d'ordre inférieur contrôlés dans des espaces mixtes de type Lebesgue ou Lorentz avec exposants critiques pour les plongements de Sobolev.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)
licence : CC BY - Paternité
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