Smoothness of companion points on the trianguline variety
Singularité des points compagnons sur la variété trianguline
Résumé
This thesis is concerned with aspects of the p-adic local Langlands programme. We study the local geometry of the trianguline variety at a crystalline generic point. At such a point, when it is classical, Breuil-Hellmann-Schraen have computed the dimension of the tangent space to the trianguline variety, which notably depends on a certain permutation wsat attached to the classical point in question. They also conjecture a general formula for the non-classical case. In general, crystalline generic points are known to be parametrised by the data of a classical point and a permutation w such that w ≥wsat for the Bruhat order. We highlight the importance of a certain combinatorial property of the pair (wsat,w). We first study this property in the context of Weyl groups of root systems. In particular, we show that the set of pairs having this property (which we call good pairs) is related to "pattern avoidance". We then improve on a method of Breuil-Hellmann-Schraen to get a partial proof of their conjecture about the dimension of the tangent space to the trianguline variety, at all automorphic crystalline generic points such that (wsat,w) is a good pair. Next, we prove parts of a conjecture about the geometry of Schubert cells of a scheme coming from geometric representation theory, for pairs of cells parametrised by good pairs. This scheme being a local model for the trianguline variety, we get a different proof of the formula for the local dimension at crystalline generic points associated to good pairs, whether it is automorphic or not. Finally, we show that the above conjecture is false for an infinite family of pairs of cells.
Cette thèse porte sur des aspects du programme de Langlands local p-adique. Nous étudions la géométrie locale de la variété trianguline en un point cristallin générique. En un tel point, lorsqu'il est de plus classique, Breuil-Hellmann-Schraen ont calculé la dimension de l'espace tangent à la variété trianguline, qui dépend notamment d'une certaine permutation wsat attachée au point classique en question. Ils conjecturent aussi une formule générale pour le cas non-classique. En général, les points cristallins génériques sont paramétrés par la donnée d'un point classique et d'une permutation w telle que w ≥ wsat pour l'ordre de Bruhat. Nous mettons en évidence l'importance d'une certaine propriété combinatoire de la paire (wsat,w). Nous étudions d'abord cette propriété pour le groupe de Weyl d'un système de racines général. En particulier, nous montrons que l'ensemble des paires ayant cette propriété (que nous appelons bonnes paires) est lié au "pattern avoidance". Nous prouvons alors la conjecture de Breuil-Hellmann-Schraen sur la dimension de l'espace tangent à la variété trianguline en tout point crystallin générique automorphe tel que (wsat,w) est une bonne paire. Ensuite, nous prouvons en partie une conjecture sur la géométrie des cellules de Schubert d'un schéma provenant de la théorie géométrique des représentations, pour des paires de cellules paramétrées par des bonnes paires. Ce schéma servant de modèle local pour la variété trianguline, ceci conduit à une preuve de la formule pour la dimension de l'espace tangent en un point cristallin générique associé à une bonne paire, qu'il soit automorphe ou non. Enfin, nous montrons que la conjecture ci-dessus est fausse pour une famille infinie de paires de cellules.
Origine : Version validée par le jury (STAR)