Griffiths-Kato heights of pencils of projective varieties - Laboratoire de Mathématiques d'Orsay Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2023

Griffiths-Kato heights of pencils of projective varieties

Hauteurs de Griffiths-Kato des pinceaux de variétés projectives

Thomas Mordant
  • Fonction : Auteur
  • PersonId : 1248821
  • IdRef : 269273662

Résumé

The Griffiths height of a variation of Hodge structures over a projective curve is defined as the degree of its canonical line bundle, as defined by Griffiths and generalized by Peters to allow bad reduction points. It may be seen as a geometric analog of the Kato height attached to pure motives over number fields. In this paper, we establish various formulas expressing the Griffiths height of the middle-dimensional cohomology of a pencil of projective complex hypersurfaces in terms of characteristic classes. Firstly, using Steenbrink's theory and the Grothendieck-Riemann-Roch theorem, we give an expression in terms of characteristic classes of the alternating sum of the Griffiths heights of the cohomology groups of the fibers of a pencil of projective varieties with non-singular total space, whose singular fibers are divisors with normal crossings. Using this expression, we may compute the same alternating sum of Griffiths heights associated to a pencil of projective varieties with non-singular total space and only ordinary double points as singularities of its fibers. By using the weak Lefschetz theorem and the above formulas, we may express the Griffiths height of the middle-dimensional cohomology of an ample pencil of hypersurfaces in a smooth pencil in terms of characteristic classes and of the Griffiths heights associated to the ambient smooth pencil. This leads to closed formulas for the Griffiths height of the middle-dimensional cohomology of pencils of projective varieties in the following special cases: for pencils of hypersurfaces in a projective bundle, and for linear pencils of hypersurfaces in a smooth projective variety, of which Lefschetz pencils are a special instance. Finally, as an appendix, we establish transversality results which show that the hypotheses on the pencils of hypersurfaces under which some of our formulas for Griffiths heights hold (namely, that the pencils admit smooth total spaces and singular fibers with only ordinary double points), are generically satisfied.
On définit la hauteur de Griffiths d'une variation de structures de Hodge sur une courbe projective comme le degré de son fibré en droites canonique, tel qu'il est défini par Griffiths et généralisé par Peters afin de permettre des points de mauvaise réduction. On peut voir cette hauteur comme un analogue géométrique de la hauteur de Kato attachée aux motifs purs sur des corps de nombres. Dans ce mémoire, nous établissons diverses formules exprimant la hauteur de Griffiths de la cohomologie en dimension moitié d'un pinceau d'hypersurfaces projectives complexes en termes de classes caractéristiques. En premier lieu, à l'aide de la théorie de Steenbrink et du théorème de Grothendieck-Riemann-Roch, nous exprimons en termes de classes caractéristiques la somme alternée des hauteurs de Griffiths des groupes de cohomologie des fibres d'un pinceau de variétés projectives, avec un espace total non singulier, et dont les fibres singulières sont des diviseurs à croisements normaux. Cette expression nous permet de calculer la même somme alternée des hauteurs de Griffiths associées à un pinceau de variétés projectives, avec un espace total non singulier, et dont les seules singularités des fibres sont des points doubles ordinaires. À l'aide du théorème de Lefschetz faible et des formules ainsi établies, nous exprimons ensuite la hauteur de Griffiths de la cohomologie en dimension moitié d'un pinceau ample d'hypersurfaces dans un pinceau lisse en termes de classes caractéristiques et des hauteurs de Griffiths associées au pinceau lisse ambiant. Cela mène à des formules explicites pour la hauteur de Griffiths de la cohomologie en dimension moitié de pinceaux de variétés projectives dans les cas particuliers suivants : celui des pinceaux d'hypersurfaces dans un fibré en projectifs, et celui des pinceaux linéaires d'hypersurfaces dans une variété projective lisse — dont les pinceaux de Lefschetz sont un exemple. Enfin, en annexe, nous établissons des résultats de transversalité qui montrent que les hypothèses sur les pinceaux d'hypersurfaces pour lesquelles sont établies plusieurs de nos formules pour les hauteurs de Griffiths — admettre un espace total lisse et des fibres singulières à points doubles ordinaires — sont satisfaites de manière générique.
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Origine : Version validée par le jury (STAR)

Dates et versions

tel-04075504 , version 1 (20-04-2023)

Identifiants

  • HAL Id : tel-04075504 , version 1

Citer

Thomas Mordant. Griffiths-Kato heights of pencils of projective varieties. Algebraic Geometry [math.AG]. Université Paris-Saclay, 2023. English. ⟨NNT : 2023UPASM005⟩. ⟨tel-04075504⟩
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