On a DNLS equation related to the Calogero-Sutherland-Moser Hamiltonian system
Une équation de Schrödinger non-linéaire issue du système de Calogero-Sutherland-Moser
Abstract
This thesis is devoted to a PDE obtained by A. Abanov et al (J. Phys. A, 2009) from the hydrodynamic limit of the Calogero-Sutherland Hamiltonian system. A nonlinear integrable Schrödinger-type equation on the Hardy space is obtained and has a Lax pair structure on the line and on the circle. The goal of this thesis is to establish, by using the integrability structure of this PDE, some global well-posedness results on the circle, extending down to the critical regularity space. Secondly, we investigate the existence of particular solutions. Thus, we characterize the traveling waves and finite gap potentials of this equation on the circle. Thirdly, we study the zero-dispersion (or semiclassical) limit of this equation on the line and characterize its solutions using an explicit formula.
Il s'agit d'étudier une EDP obtenue par A. Abanov et al (J. Phys. A, 2009) à partir de la limite hydrodynamique du système hamiltonien de Calogero-Sutherland-Moser. On obtient ainsi une équation intégrable de type Schrödinger non linéaire sur l'espace de Hardy qui se trouve posséder une paire de Lax sur la droite et sur le cercle. Le but de cette thèse est d'utiliser la structure d'intégrabilité afin d'établir que l'équation est globalement bien-posée sur le cercle en allant jusqu'à l'espace de régularité critique. En second lieu, on s'intéresse à l'existence de solutions particulières sur le tore. Ainsi, on caractérise les ondes progressives de cette équation, ainsi qu'une classe de solutions s'écrivant sous la forme de fractions rationnelles et qui sont définies spectralement à partir de l'opérateur de Lax. En troisième lieu, on étudie la limite à faible-dispersion (semi-classique) de cette équation sur la droite et on caractérise ses solutions grâce à une formule explicite.
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