Generic bidirectional typing in a logical framework for dependent type theories
Typage bidirectionnel générique dans un logical framework pour les théories des types dépendants
Résumé
Dependent type theories are formal systems that can be used both as programming languages and for the formalization of mathematics, and constitute the foundation of popular proof assistants such as Coq and Agda. In order to unify their study, Logical Frameworks (LFs) provide a unified meta-language for defining such theories in which various universal notions are built in by default and metatheorems can be proven in a theory-independent way. This thesis focuses on LFs designed with implementation in mind, with the goal of providing generic type-checkers. Our main contribution is a new such LF which allows for representing type theories with their usual non-annotated syntaxes. The key to allowing the removal of annotations without jeopardizing decidability of typing is the integration of bidirectional typing, a discipline in which the typing judgment is decomposed into inference and checking modes. While bidirectional typing has been well known in the literature for quite some time, one of the central contributions of our work is that, by formulating it in an LF, we give it a generic treatment for all theories fitting our framework. Our proposal has been implemented in the generic type-checker BiTTs, allowing it to be used in practice with various theories. In addition to our main contribution, we also advance the study of Dedukti, a sibling LF of our proposed framework. First, we revisit the problem of showing that theories are correctly represented in Dedukti by proposing a methodology for encodings which allows for showing their conservativity easily. Furthermore, we demonstrate how Dedukti can be used in practice as a tool for translating proofs by proposing a transformation for sharing proofs with predicative systems. This transformation has allowed for the translation of proofs from Matita to Agda, yielding the first-ever Agda proofs of Fermat's Little Theorem and Bertrand's Postulate.
Les théories des types dépendants sont des systèmes formels qui peuvent être utilisés à la fois comme langages de programmation et pour la formalisation des mathématiques, et constituent la base de plusieurs assistants de preuve tels que Coq et Agda. Afin d'unifier leur étude, les Logical Frameworks (LFs) fournissent un méta-langage unifié permettant de définir ces théories, dans lequel diverses notions universelles sont intégrées par défaut et où des méta-théorèmes génériques peuvent être prouvés. Cette thèse se concentre sur les LFs conçus pour être implémentés, avec pour objectif de fournir des type-checkers génériques. Notre principale contribution est un nouveau LF permettant de représenter les théories des types avec leurs syntaxes non annotées habituelles. La clé pour permettre de supprimer des annotations sans compromettre la décidabilité du typage est l'intégration du typage bidirectionnel, une discipline dans laquelle le jugement de typage est décomposé en modes d'inférence et de checking. Si le typage bidirectionnel est déjà bien étudié dans la littérature, l'une des contributions centrales de notre travail est sa formulation dans un LF, ce qui donne un traitement générique pour toutes les théories définissables dans notre système. Notre proposition a été implémentée dans le type-checker générique BiTTs, permettant son utilisation avec diverses théories.En plus de notre contribution principale, nous proposons des avancés dans l'étude de Dedukti, un LF appartenant à la même famille que le système que nous proposons. Tout d'abord, nous revisitons le problème de la correction des encodages dans Dedukti en proposant une méthodologie qui permet de démontrer plus facilement la conservativité. De plus, nous montrons comment Dedukti peut être utilisé en pratique comme outil de traduction de preuves, en proposant une transformation pour partager des preuves avec des systèmes prédicatifs. Cette transformation a permis la traduction de preuves de Matita vers Agda, aboutissant aux toutes premières preuves en Agda du Petit Théorème de Fermat et du Postulat de Bertrand.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
|---|