Thèse Année : 2024

Preuves formelles en mathématiques appliquées : formalisation en Coq des éléments finis de Lagrange simpliciaux

Formal Proofs in Applied Mathematics : A Coq Formalization of Simplicial Lagrange Finite Elements

Houda Mouhcine
  • Fonction : Auteur
  • PersonId : 1489228
  • IdRef : 282537732

Résumé

This thesis is dedicated to developing formal proofs of mathematical theorems and propositions within the field of real analysis using the Coq proof assistant to ensure their correctness. The core of this work is divided into two main parts.The first part focuses on using Coq to formalize key mathematical principles such as the Lebesgue induction principle and the Tonelli theorem, allowing the computation of double integrals on product spaces by iteratively integrating with respect to each variable. This work builds upon previous research in measure theory and the Lebesgue integral.The second part of this thesis operates within the framework of the Finite Element Method (FEM), a widely used numerical technique for solving partial differential equations (PDEs). FEM plays an important role in numerous industrial simulation programs, particularly in approximating solutions to complex problems such as heat transfer, fluid dynamics, and electromagnetic field simulations. Specifically, we aim to construct finite elements, focusing on simplicial Lagrange finite elements with evenly distributed degrees of freedom. This work engages a broad range of algebraic concepts, including finite families, monoids, vector spaces, affine spaces, substructures, and finite-dimensional spaces.To conduct this study, we formalize in Coq in classical logic several foundational components. We begin by constructing a general finite element, then proceed to define several foundational components, including the construction of the Lagrange approximation space, expressing its Lagrange polynomial basis, and formalizing affine geometric transformations and the unisolvence property of Lagrange finite elements.
Cette thèse est dédiée au développement de preuves formelles de théorèmes et propositions mathématiques dans le domaine de l'analyse réelle, en utilisant l'assistant de preuve Coq pour garantir leur exactitude. Le cœur de ce travail est divisé en deux parties principales.La première partie se concentre sur l'utilisation de Coq pour formaliser des principes mathématiques clés tels que le principe d'induction de Lebesgue et le théorème de Tonelli, permettant le calcul d'intégrales doubles sur des espaces produits en intégrant de manière itérative par rapport à chaque variable. Ce travail s'appuie sur des recherches antérieures en théorie de la mesure et sur l'intégrale de Lebesgue.La deuxième partie de cette thèse fonctionne dans le cadre de la méthode des éléments finis (MEF), une technique numérique largement utilisée pour résoudre des équations aux dérivées partielles (EDP). La MEF joue un rôle important dans de nombreux programmes de simulation industrielle, notamment dans l'approximation des solutions à des problèmes complexes tels que le transfert de chaleur, la dynamique des fluides et les simulations de champs électromagnétiques. Plus spécifiquement, nous visons à construire des éléments finis, en nous concentrant sur les éléments finis de Lagrange simpliciaux avec des degrés de liberté répartis uniformément. Ce travail mobilise un large éventail de concepts algébriques, y compris les familles finies, les monoïdes, les espaces vectoriels, les espaces affines, les sous-structures et les espaces de dimensions finies.Pour mener à bien cette étude, nous formalisons dans Coq en logique classique plusieurs composants fondamentaux. Nous commençons par construire un élément fini général, puis nous procédons à la définition de plusieurs composants fondamentaux, y compris la construction de l'espace d'approximation de Lagrange, l'expression de sa base de polynômes de Lagrange et la formalisation des transformations géométriques affines et de la propriété d'unisolvance des éléments finis de Lagrange.
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Dates et versions

tel-04884651 , version 1 (13-01-2025)

Identifiants

  • HAL Id : tel-04884651 , version 1

Citer

Houda Mouhcine. Preuves formelles en mathématiques appliquées : formalisation en Coq des éléments finis de Lagrange simpliciaux. Symbolic Computation [cs.SC]. Université Paris-Saclay, 2024. English. ⟨NNT : 2024UPASG112⟩. ⟨tel-04884651⟩
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