De nouveaux résultats sur la géométrie des mosaïques de Poisson-Voronoi et des mosaïques poissoniennes d'hyperplans. Etude du modèle de fissuration de Rényi-Widom - MAP5 Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2002

New geometric results for Poisson-Voronoi tessellations and Poisson hyperplane tessellations. Study of the Rényi-Widom multicracking model

De nouveaux résultats sur la géométrie des mosaïques de Poisson-Voronoi et des mosaïques poissoniennes d'hyperplans. Etude du modèle de fissuration de Rényi-Widom

Pierre Calka

Résumé

This thesis deals with three models from stochastic geometry: the Poisson-Voronoi tessellation, Poisson hyperplane tessellation, and unidirectional crack model of Rényi-Widom. We first show the equivalence between the two historical methods for the statistical study of the tessellations: the convergence of the ergodic means and the Palm definition of the typical cell. We then provide in dimension two the law of the number of vertices of the typical cell and conditionally to this number, the laws of the positions of the bounds, the area and the perimeter. Moreover, we give the joint distribution of the radii of the largest (resp. smallest) disk centered at the origin containing (resp. contained in) the typical cell and we deduce the circular property of the ``large cells''. In the Poisson-Voronoi case, we connect the spectral function of the typical cell to the Brownian bridge, which provides the asymptotic behaviour of the law of the first eigenvalue in dimension two. For the Poissonian hyperplane tessellation, we use the Palm definition of the typical cell to deduce the explicit construction in any dimension of this cell by means of its in-ball and its circumscribed simplex. A rigorous proof of a result of R. E. Miles concerning the thickened hyperplane tessellations is also given. Besides, we model a cracking phenomenon by a unidimensional stationary process. We calculate the law of the typical inter-crack distance and we show that the consecutive points constitute an explicit conditioned renewal process.
Cette thèse traite de trois modèles de géométrie aléatoire: les mosaïques de Poisson-Voronoi, les mosaïques poissoniennes d'hyperplans et le modèle de fissuration unidirectionnel de Rényi-Widom. Nous montrons tout d'abord l'équivalence entre les deux approches historiques pour l'étude statistique des mosaïques: la convergence des moyennes ergodiques et la définition au sens de Palm de la cellule typique. Nous donnons ensuite en dimension deux la loi du nombre de sommets de la cellule typique et conditionnellement à ce nombre, les lois des positions des frontières, de l'aire et du périmètre. De plus, nous explicitons la loi conjointe des rayons des disques centrés en l'origine inscrit dans (resp. circonscrit à) la cellule typique et nous en déduisons le caractère circulaire des "grandes cellules". Dans le cas Poisson-Voronoi, nous relions en toute dimension la fonction spectrale de la cellule typique au pont brownien, ce qui permet en particulier d'estimer asymptotiquement la loi de la première valeur propre en dimension deux. Dans le cas des mosaïques poissoniennes d'hyperplans, nous exploitons les techniques de Palm pour en déduire une construction explicite en toute dimension de la cellule typique à partir de sa boule inscrite et de son simplexe circonscrit. Une preuve rigoureuse d'un résultat de R. E. Miles lorsqu'on épaissit les hyperplans est également donnée. Par ailleurs, nous modélisons un phénomène de fissuration par un processus unidimensionnel stationnaire dont nous calculons la loi de la distance inter-fissures typique. Nous montrons en outre que les points successifs sont ceux d'un processus de renouvellement conditionné explicite.
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Dates et versions

tel-00448216 , version 1 (18-01-2010)

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  • HAL Id : tel-00448216 , version 1

Citer

Pierre Calka. De nouveaux résultats sur la géométrie des mosaïques de Poisson-Voronoi et des mosaïques poissoniennes d'hyperplans. Etude du modèle de fissuration de Rényi-Widom. Mathématiques [math]. Université Claude Bernard - Lyon I, 2002. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00448216⟩
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