Fondement de la description semi-classique du transport électronique dans les solides - Laboratoire Matériaux et Phénomènes Quantiques Accéder directement au contenu
Autre Publication Scientifique European Journal of Physics Année : 2021

The basis of the semiclassical description of electron transport in solids

Fondement de la description semi-classique du transport électronique dans les solides

Résumé

The theoretical account of electron transport in crystalline solids is often taught to graduate students through a semiclassical equation which is a classical kinetic equation amended with elements of quantum physics in a non-systematic way. This blending of classical and quantal elements accounts for many experimental features of electron transport, save for a few ones observed over short distances. For students acquainted with solid-state quantum mechanics, it is preferable to derive the semiclassical equation from quantum dynamics so as to pinpoint the shortcomings and approximations underlying the semiclassical picture of transport. This paper explores the pathway leading from quantum dynamics to semiclassical kinetics within a simplified model not exceeding the proficiencies of a graduate student in physics or electronic engineering. In this model an electron moves in a crystal under the joint influences of the periodic crystal potential, an external electrostatic field and a set of lattice imperfections haphazardly distributed in the crystal volume. The first influence is treated exactly by means of standard energy-band theory and the other two are handled perturbatively. Following a procedure already tested in free-space issues, we replace Schrödinger’s wave function in position space with a Wigner function defined in the phase (position-pseudomomentum) space of semiclassical kinetics. The dynamical equation on the Wigner function is worked out and approximated so as to retrieve the semiclassical equation. The errors incurred in making use of the latter are assessed quantitatively. It is explained how a time-irreversible evolution equation ---governing a phase-space occupancy--- arises from a reversible Schrödinger dynamics ---governing a complex-valued probability amplitude. Besides clarifying the foundation of the semiclassical picture of electron transport and providing an explicit quantum-coherence correction to that picture, this paper may help students in general physics to better grasp, in a concrete issue, the interplay between classical and quantum concepts.
La théorie du transport électronique dans un solide cristallin est souvent présentée aux doctorants au moyen d'une équation semi-classique, qui est une équation cinétique classique amendée par des éléments de physique quantique d'une manière non systématique. Cette alliance d'éléments classiques et quantiques rend compte de nombreux aspects du transport électronique, sauf quelques uns observés sur de courtes distances. Pour qui est familier de la mécanique quantique du solide, il est préférable de dériver l'équation semi-classique de la dynamique quantique pour identifier les défauts et les approximations qui sous-tendent l'image semi-classique du transport. Cet article explore le chemin qui mène de la dynamique quantique à la cinétique semi-classique dans le cadre d'un modèle simplifié à la portée d'un doctorant de physique ou d'ingéniérie électronique. Dans ce modèle, un électron se déplace dans le cristal sous les influences du potentiel périodique cristallin, d'un champ électrostatique extérieur et d'un ensemble d'imperfetions de réseau réparties au hasard dans le volume du cristal. La première influence est traitée exactement au moyen de la théorie standard des bandes d'énergie et les deux autres sont abordées comme des perturbations. En suivant un procédé déjà éprouvé dans le vide, on remplace la fonction d'onde de Schrödinger définie dans l'espace des positions par une fonction de Wigner définie dans l'espace des phases (positions et pseudo-impulsions) de la cinétique semi-classique. L'équation dynamique régissant la fonction de Wigner est transformée et approximée de façon à retrouver l'équation semi-classique du transport. Les erreurs commises dans cette dernière sont évaluées de manière quantitative. On explique comment une équation d'évolution irréversible---portant sur l'occupation en phase-découle de la dynamique réversible de Schrödinger---portant sur une amplitude de probabilité complexe. Outre qu'il clarifie le fondement de l'image semi-classique du transport électronique et qu'il fournit une correction explicite de cohérence quantique, l'article peut être utile en physique générale en montrant, sur un problème concret, les relations mutuelles entre les concepts classiques et quantiques.
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Dates et versions

hal-03448795 , version 1 (25-11-2021)

Identifiants

Citer

Eric Bringuier. Fondement de la description semi-classique du transport électronique dans les solides. 2021, ⟨10.1088/1361-6404/abcba1⟩. ⟨hal-03448795⟩
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