Large deviations for kernel density estimators and study for random decrement estimator - Laboratoire de Mathematiques Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2005

Large deviations for kernel density estimators and study for random decrement estimator

Grandes déviations pour les estimateurs à noyau de la densité et étude de l'estimateur de décrément aléatoire

Liangzhen Lei
  • Fonction : Auteur
  • PersonId : 832678

Résumé

This thesis is devoted to the studies of two themes : large deviations of the kernel density estmator for stationary stochastic processes and random decrement estimator (RDE) for stationary gaussian processes.


The first theme is the main part of this thesis and contains four chapters. In chapter 1, we establish the w*-LDP (large deviation principle) of $f_n^*$ and a concentration inequality in the i.i.d. case. In chapter 2, we prove the exponential convergence of $f_n^*$ dans $L^1(R^d)$ and a concentration inequality for the $\phi$-mixing processes, by using a transportation inequality of Rio. Chapter 3 and chapter 4 are the core of this thesis. For the first time in the dependent case, we establish (i) the LDP of $f_n^*$ for the weak topology $\sigma(L^1, L^{\infty})$; (ii) the weak*-LDP of $f_n^*$ in $L^1$ for the strong topology $\vert\cdot\vert_1$ ; (iii) large deviation estimations for $D_n^*=\vert f_n^*(x)-f(x) \vert_1$ and (iv) asymptotic optimality of $f_n^*$ in the sense of Bahadur. These results are established in chapter 3 for uniformly ergodic Markov processes; and for uniformly integrable reversible Markov processes in the chapter 4.


The last chapter is devoted to the second theme. We prove the law of large number and central limit theorem for RDE in discret time case and give the explicit bias of the RDE in continuous time case.
Cette thèse est consacrée à l'étude de deux thèmes : les grandes déviations pour les estimateurs à noyau de la densité $f_n^*$ des processus stochastiques stationnaires et l'estimateur de décrément aléatoire (EDA) pour les processus gaussiens stationnaires.


Le premier thème est la partie principale de cette thèse, constituées des quatre premiers chapitres. Dans le chapitre 1, on établit le w*-PGD(principe de grandes déviations) de $f_n^*$ et une inégalité de concentration dans le cas i.i.d.. On démontre dans le chapitre 2 la convergence exponentielle de $f_n^*$ dans $L^1(R^d)$ et une inégalité de concentration pour des suites $\phi$-mélangeants, en se basant sur une inégalité de tranport de Rio. Les chapitre 3 et 4 constituent le coeur de cette thèse : on établit (i) le PGD de $f_n^*$ pour la topologie faible $\sigma(L^1, L^{\infty})$ ; (ii) le w*-PGD de $f_n^*$ dans $L^1$ pour la topologie forte $\vert\cdot\vert_1$ ; (iii) l'estimation de grandes déviations pour l'erreur $D_n^*=\vert f_n^*(x)-f(x) \vert_1$ et (iv) l'optimalité asymptotique de $f_n^*$ au sens de Bahadur. Ces résultats sont prouvés dans le chapitre 3 pour des processus de Markov uniformément ergodiques et dans le chapitre 4 pour des processus de Markov réversibles uniformément intégrables.


Le dernier chapitre est consacré au second thème. On démontre la loi des grands nombres et le théorème de limite centrale pour l'EDA à temps discret et on établit pour la première fois l'expression explicite du biais de l'EDA à temps continu.
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Dates et versions

tel-00011959 , version 1 (17-03-2006)

Identifiants

  • HAL Id : tel-00011959 , version 1

Citer

Liangzhen Lei. Large deviations for kernel density estimators and study for random decrement estimator. Mathematics [math]. Université Blaise Pascal - Clermont-Ferrand II, 2005. Chinese. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00011959⟩
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