Approximation of stochastic models for epidemics on large multi-level graphs
Approximation de mod`eles stochastiques d’ ´epid´emies sur grands graphes multi-niveaux
Résumé
We study an SIR model with two levels of mixing, namely a uniformly mixing global level, and a local level with two layers of household and workplace contacts, respectively. More precisely, we aim at proposing reduced models which approximate well the epidemic dynamics at hand, while being more prone to mathematical analysis and/or numerical exploration.We investigate the epidemic impact of the workplace size distribution. Our simulation study shows that if the average workplace size is kept fixed, the variance of the workplace size distribution is a good indicator of its influence on key epidemic outcomes. In addition, this allows to design an efficient teleworking strategy. Next, we demonstrate that a deterministic, uniformly mixing SIR model calibrated using the epidemic growth rate yields a parsimonious approximation of the household-workplace model.However, the accuracy of this reduced model deteriorates over time and lacks theoretical guarantees. Hence, we study the large population limit of the stochastic household-workplace model, which we formalize as a measure-valued process with continuous state space. In a general setting, we establish convergence to the unique deterministic solution of a measure-valued equation. In the case of exponentially distributed infectious periods, a stronger reduction to a finite dimensional dynamical system is obtained.Further, in order to gain a finer insight on the impact of the model parameters on the performance of both reduced models, we perform a sensitivity study. We show that the large population limit of the household-workplace model can approximate well the epidemic even if some assumptions on the contact network are relaxed. Similarly, we quantify the impact of epidemic parameters on the capacity of the uniformly mixing reduced model to predict key epidemic outcomes.Finally, we consider density-dependent population processes in general. We establish a many-to-one formula which reduces the typical lineage of a sampled individual to a time-inhomogeneous spinal process. In addition, we use a coupling argument to quantify the large population convergence of a spinal process.
Nous étudions un modèle SIR à deux niveaux de mélange, à savoir un niveau global uniformément mélangeant, et un niveau local divisé en deux couches de contacts au sein des foyers et lieux de travail, respectivement. Nous cherchons à développer des modèles réduits qui approchent bien cette dynamique épidémique, tout en étant plus maniables pour l’analyse numérique et/ou théorique.D'abord, nous analysons l’impact épidémique de la distribution des tailles des lieux de travail. Notre étude par simulations montre que, si la moyenne de la distribution des tailles de lieux de travail est fixée, sa variance est un bon indicateur de son influence sur des caractéristiques clés de l’épidémie. Cela nous permet de proposer des stratégies de télétravail efficaces. Ensuite, nous montrons qu’un modèle SIR déterministe, uniformément mélangeant, calibré sur le taux de croissance épidémique fournit une approximation parcimonieuse de l'épidémie.Néanmoins, la précision de ce modèle réduit décroît au cours du temps et n'a pas de garanties théoriques. Nous étudions donc la limite grande population du modèle stochastique à foyers et lieux de travail, que nous formalisons comme un processus à valeur mesure dont l’espace de types est continu. Nous établissons sa convergence vers l’unique solution déterministe d’une équation à valeur mesure. Dans le cas où les périodes infectieuses sont exponentiellement distribuées, une réduction plus forte vers un système dynamique fini-dimensionnel est obtenue.De plus, une étude de sensibilité nous permet de comprendre l’impact des paramètres du modèle sur la performance de ces deux modèles réduits. Nous montrons que la limite grande population du modèle foyer-travail permet de bien approcher l’épidémie, même si certaines hypothèses sur le réseau de contact sont relâchées. De même, nous quantifions l’impact des paramètres épidémiques sur la capacité du modèle réduit uniformément mélangeant à prédire des caractéristiques clés de l’épidémie.Enfin, nous considérons plus généralement des processus de population densité-dépendants. Nous établissons une formule tous-pour-un qui réduit la lignée typique d’un individu échantillonné à un processus spinal inhomogène en temps. Par ailleurs, nous quantifions par couplage la convergence en grande population d'une construction spinale.
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