Hdr Année : 2024

Models and numerical methods for multiscale transport problems

Modèles et méthodes numériques pour des problèmes de transports multi-échelles

Résumé

This manuscript presents different contributions in the mathematical modeling and the development of numerical methods for multiscale transport problems, arising in particular in plasma physics and collective cell dynamics. In the first chapter, we present a few reduction methods for kinetic transport equations. Performing a finite element semi-discretization in velocity leads to a linear hyperbolic model with good conservation properties. Fluid models with entropic or neural network closures have been studied to obtain even smaller reduced models with only physical quantities as reduced macroscopic variables. Reduced order modeling techniques are also proposed to construct reduced macroscopic variables specifically adapted to a given set of parametric solutions. The second chapter deals with two numerical issues concerning the discontinuous Galerkin and its semi-Lagrangian version, namely the recurrence numerical artifact and the approximate well-balanced property by basis enrichment. The third chapter presents two implicit numerical methods for solving hyperbolic systems with low-computational cost thanks to relaxation techniques. The first method relies on the vectorial kinetic relaxation scheme, whose transport steps are solved using an implicit solver with explicit cost. The second one proposes a splitting method applied to the two-speed relaxation system for the Euler system, whose acoustic part involves only constant coefficients. This leads to implicit steps with controlled conditioning. Finally, the fourth chapter regards the development of models for collective dynamics of cells. We present three different models with specific interaction rules: layer interactions, back-to-back anti-alignment and interactions with surrounding elastic cables. We study their large-scale dynamics either theoretically, by deriving the associated macroscopic models, or using numerical simulations. Comparisons with experimental results have also been performed.
Ce manuscrit présente différentes contributions à la modélisation mathématique et au développement de méthodes numériques pour les problèmes de transport multi-échelles, en particulier en physique des plasmas et en dynamique collective cellulaire. Dans le premier chapitre, nous présentons quelques méthodes de réduction pour les équations de transport cinétique. Une semi-discrétisation en éléments finis de la vitesse conduit à un modèle hyperbolique linéaire avec de bonnes propriétés de conservation. Les modèles fluides avec des fermetures entropiques ou des réseaux neuronaux ont été étudiés pour obtenir des modèles réduits plus compacts avec seulement des quantités physiques comme variables macroscopiques réduites. Des techniques de modélisation d'ordre réduit sont également proposées pour construire des variables macroscopiques réduites spécifiquement adaptées à un ensemble de solutions paramétriques. Le deuxième chapitre traite de deux questions numériques concernant le Galerkin discontinu et sa version semi-lagrangienne, à savoir l'artefact numérique de récurrence et la propriété de schémas équilibres obtenus par l'enrichissement des bases. Le troisième chapitre présente deux méthodes numériques implicites pour résoudre des systèmes hyperboliques avec un faible coût de calcul grâce à des techniques de relaxation. La première méthode repose sur le schéma de relaxation cinétique vectorielle, dont les étapes de transport sont résolues à l'aide d'un solveur implicite à coût explicite. La seconde propose une méthode de type splitting appliquée au système de relaxation à deux vitesses pour le système d'Euler, dont la partie acoustique ne comporte que des coefficients constants. Ceci conduit à des étapes implicites avec un conditionnement contrôlé. Enfin, le quatrième chapitre concerne le développement de modèles pour la dynamique collective des cellules. Nous présentons trois modèles différents avec des règles d'interaction spécifiques : interactions entre couches, anti-alignement pour des cellules dos-à-dos et interactions avec les câbles élastiques environnants. Nous étudions leurs dynamiques à grande échelle soit théoriquement, en dérivant les modèles macroscopiques associés, soit en utilisant des simulations numériques. Des comparaisons avec des résultats expérimentaux ont également été menées.
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Dates et versions

tel-04826632 , version 1 (09-12-2024)

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  • HAL Id : tel-04826632 , version 1

Citer

Laurent Navoret. Models and numerical methods for multiscale transport problems. Mathematics [math]. Université de Strasbourg, 2024. ⟨tel-04826632⟩
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