Géométrie des Mesures Convexes et Liens avec la Théorie de l'Information - Laboratoire d'Analyse et de Mathématiques Appliquées Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2014

Geometry of Convex Measures and Links with the Information Theory

Géométrie des Mesures Convexes et Liens avec la Théorie de l'Information

Résumé

This thesis is devoted to the study of convex measures as well as the relationships between the Brunn-Minkowski theory and the Information theory. I continue the works of Costa and Cover who highlighted similarities between two fundamentals inequalities in the Brunn-Minkowski theory and in the Information theory. Starting with these similarities, they conjectured, as an analogue of the concavity of entropy power, that the $n$-th root of the parallel volume of every compact subset of $\R^n$ is concave, and I give a complete answer to this conjecture. I also study the convex measures defined by Borell, and for these measures I establish a refined inequality of the Brunn-Minkowski type when restricted to convex symmetric sets. This thesis is split into four parts. In the first part, I recall some basic facts about the Brunn-Minkowski theory and the Information theory. In the second part, I prove the validity of the conjecture of Costa-Cover under special conditions and I show that the conjecture is false in such a generality by giving explicit counterexamples. In the third part, I extend the positive results of this conjecture by considering measures other than the classical volume and by establishing functional versions. Finally, in the fourth part I generalize recent works of Gardner and Zvavitch by improving the concavity of convex measures under different kinds of hypothesis such as symmetries.
Ma thèse est consacrée à l'étude des mesures convexes ainsi qu'à l'étude des liens entre la théorie de Brunn-Minkowski et la théorie de l'information de Shannon. Je poursuis les travaux de Costa et Cover qui ont mis en lumière des similitudes entre deux grandes théories mathématiques, la théorie de Brunn-Minkowski d'une part et la théorie de l'information d'autre part. Partant de ces similitudes, ils ont conjecturé, comme analogue de la concavité de l'entropie exponentielle, que la racine $n$-ième du volume parallèle de tout ensemble compact de $\R^n$ est une fonction concave. Je résous cette conjecture de manière détaillée. Par ailleurs, j'étudie les mesures convexes définies par Borell et je démontre, pour ces mesures, une inégalité renforcée de type Brunn-Minkowski pour les ensembles convexes symétriques. Cette thèse se décompose en quatre parties. Tout d'abord, je rappelle un certain nombre de notions de base concernant la théorie de Brunn-Minkowski et la théorie de l'information. Dans une seconde partie, j'établis la validité de la conjecture de Costa-Cover sous certaines conditions et je démontre qu'en toute généralité, cette conjecture est fausse en exhibant des contre-exemples explicites. Dans une troisième partie, j'étends les résultats positifs de cette conjecture de deux manières, d'une part en généralisant la notion de volume et d'autre part en établissant des versions fonctionnelles. Enfin, je prolonge des travaux récents de Gardner et Zvavitch en améliorant la concavité des mesures convexes sous certaines hypothèses telles que la symétrie.
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Dates et versions

tel-01228973 , version 2 (06-03-2015)
tel-01228973 , version 1 (15-11-2015)

Licence

Paternité - Pas d'utilisation commerciale - Partage selon les Conditions Initiales

Identifiants

  • HAL Id : tel-01228973 , version 1

Citer

Arnaud Marsiglietti. Géométrie des Mesures Convexes et Liens avec la Théorie de l'Information. Analyse fonctionnelle [math.FA]. Université Paris-Est, 2014. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-01228973v1⟩
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