The Weierstrass Drift: A Toy SLE Brownian Model
Résumé
We introduce the Weierstrass Drift as a deterministic toy model for the Schramm-Loewner evolution process (SLE) driven by Brownian motion.
The now classical condition obtained by Joan Lind and Jessica Robbins in [Lin05] ensures that, if the Lip 1 2 norm of the drift is below 4, the resulting SLE trace is a simple curve.
We hereafter revisit this condition, in the case of a Weierstrass drift W, the deterministic analog of a Brownian driving function. Our bounds significantly improve the existing ones, given in [LR17], obtained by truncation methods.
By extending the condition to the general case Lip (δ) norm, for δ ∈ 0, 1 2 , we obtain the value of the scaling parameter c for which the Loewner trace associated with c W, undergoes a phase transition between simple to nonsimple curves. Moreover, we provide numerical evidence of the fact that the Weierstrass drift mimics key features of Brownian driving terms -such as the roughness, the box-counting dimensions of the resulting hulls, and quasi self-similarity (or self-shape similarity; see [DL25d]). This suggests that it can serve as a tractable toy model for the multifractality and phase transition study of SLE traces.
La fonction de Weierstrass, analogue déterministe du mouvement brownien, joue ici le rôle d'un \emph{conducteur} pour le processus d’évolution de Schramm–Loewner (SLE). La condition désormais classique établie par Joan Lind et Jessica Robbins dans~\cite{JoanLindACharpConditionForTheLoewnerEquationTogenerateSlits2005} garantit que, si la norme~\mbox{$\text{Lip} \, \left ( \frac{1}{2} \right )$} du conducteur est inférieure à~$4$, la trace de Loewner qui en résulte est une courbe simple. Nous revisitons complètement cette condition, et obtenons des bornes plus précises, qui améliorent de façon significative celles obtenues, à l'aide de troncatures, dans~\cite{JoanLindJessicaRobbinsLoewnerDeformationsDrivenByTheWeierstrassFunction2017}. Nos résultats, qui, de façon plus générale, concernent la norme~\mbox{$\text{Lip} \, \left ( \delta \right )$}, pour~\mbox{$\delta \in \left ]0,\frac{1}{2}\right]$}, nous permettent de déterminer de façon exacte le seuil de transition de phase, c'est-à-dire, la valeur critique du paramètre d’échelle~$c$ pour laquelle la trace de Loewner associée à~\mbox{$c\,{\cal W}$} évolue d'une courbe simple à une courbe multiple. Nous mettons enfin en lumière les liens intrinsèques entre les propriétés fractales du conducteur (rugosité, \emph{quasi auto-similarité}, ou similarité de forme, voir~\cite{ClaireMichelI}), et celles de la trace de Loewner correspondante. Tout ceci fait des conducteurs de type Weierstrass un modèle jouet particulièrement pertinent pour l’étude de la multifractalité et des transitions de phase des traces SLE.
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