Geometry of contextuality from Grothendieck's coset space
Géométrie de la contextualité dans l'espace des cosets de Grothendieck
Résumé
The geometry of cosets in the subgroups H of the two-generator free group G =< a, b > nicely fits, via Grothendieck's dessins d'enfants, the geometry of commutation for quantum observables. Dessins stabilize point-line incidence geometries that reflect the commutation of (generalized) Pauli operators [Information 5, 209 (2014); 1310.4267 and 1404.6986 (quant-ph)]. Now we find that the non-existence of a dessin for which the commutator (a, b) = a^ (−1) b^( −1) ab precisely corresponds to the commutator of quantum observables [A, B] = AB − BA on all lines of the geometry is a signature of quantum contextuality. This occurs first at index |G : H| = 9 in Mermin's square and at index 10 in Mermin's pentagram, as expected. Commuting sets of n-qubit observables with n > 3 are found to be contextual as well as most generalized polygons. A geometrical contextuality measure is introduced.
La géométrie des cosets des sous-groupes H du groupe à deux générateurs G =< a, b > s'adapte bien, via les dessins d'enfants de Grothendieck, à la géométrie de la commutation des observables quantiques. Les dessins stabilisent des géométries d'incidence point-ligne qui reflètent la commutation des opérateurs de Pauli (généralisés) [Information 5, 209 (2014); 1310.4267 and 1404.6986 (quant-ph)]. On trouve maintenant que la non existence d'un dessin pour lequel le commutator (a, b) = a^( −1) b^( −1) ab correspond précisément au commutateur pour les observables quantiques [A, B] = AB − BA sur toutes les lignes de la géométrie est une signature de contextualité. Cela se produit d'abord pour l'index |G : H| = 9 du carré de Mermin et pour l'index 10 du pentagramme de Mermin. Les ensembles commutant d' observables à n qubits (n>3) sont contextuels ainsi que la plupart des polygones généralisés. Une mesure de contextualité géométrique est introduite.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)