Mean resolvent operator of a statistically steady flow
Opérateur résolvant moyen d'un écoulement statistiquement stationnaire
Abstract
This paper introduces a new operator relevant to input–output analysis of flows in a statistically steady regime far from the steady base flow: the mean resolvent ${{\boldsymbol{\mathsf{R}}}}_0$ . It is defined as the operator predicting, in the frequency domain, the mean linear response to forcing of the time-varying base flow. As such, it provides the statistically optimal linear time-invariant approximation of the input–output dynamics, which may be useful, for instance, in flow control applications. Theory is developed for the periodic case. The poles of the operator are shown to correspond to the Floquet exponents of the system, including purely imaginary poles at multiples of the fundamental frequency. In general, evaluating mean transfer functions from data requires averaging the response to many realizations of the same input. However, in the specific case of harmonic forcings, we show that the mean transfer functions may be identified without averaging: an observation referred to as ‘dynamic linearity’ in the literature (Dahan et al. , J. Fluid Mech. , vol. 704, 2012, pp. 360–387). For incompressible flows in the weakly unsteady limit, i.e. when amplification of perturbations by the unsteady part of the periodic Jacobian is small compared to amplification by the mean Jacobian, the mean resolvent ${{\boldsymbol{\mathsf{R}}}}_0$ is well-approximated by the well-known resolvent operator about the mean flow. Although the theory presented in this paper extends only to quasi-periodic flows, the definition of ${{\boldsymbol{\mathsf{R}}}}_0$ remains meaningful for flows with continuous or mixed spectra, including turbulent flows. Numerical evidence supports the close connection between the two resolvent operators in quasi-periodic, chaotic and stochastic two-dimensional incompressible flows.
Ce papier introduit un nouvel opérateur pertinent pour l'analyse entrée-sortie et le contrôle d'un écoulement statistiquement statistiquement stationnaire loin de l'écoulement de base : l'opérateur résolvant moyen R0. Il s'agit de l'opérateur qui prédit, dans le domaine fréquentiel, la réponse linéaire moyenne au forçage d'un écoulement temps-variant. En tant que tel, cet opérateur fournit donc le modèle linéaire temps-invariant optimal au sens statistique de la dynamique entrée-sortie. Des développements théoriques sont réalisés sur le cas périodique. Les pôles de l'opérateur correspondent aux exposants de Floquet du système, incluant des pôles imaginaires purs aux multiples de la fréquence fondamentale du cycle limite. En général, évaluer des fonctions de transfert moyennes à partir de données requiert de moyenner de multiples réalisations de la réponse à un même signal de forçage. Cependant, dans le cas spécifique de forçages harmoniques, on montre que la fonction de transfert moyenne peut s'identifier sans qu'il soit nécessaire de faire une moyenne: une observation qualifiée de "linéarité dynamique" dans la littérature (Dahan et al., 2012). Pour les écoulements incompressibles dans la limite faiblement non-linéaire, c'est-à-dire lorsque l'amplification de perturbations extérieures par la partie instationnaire de la jacobienne périodique est faible par rapport à l'amplification par la jacobienne moyenne, l'opérateur résolvant moyen R0 est bien approximé par l'opérateur bien connu RU résolvant autour du champ moyen. Bien que la théorie présentée dans ce papier ne s'étende qu'au cas des écoulements quasi-périodiques, la définition de l'opérateur persiste pour des écoulements plus complexes présentant un spectre continu ou mélange, incluant les écoulements turbulents. Des calculs numériques semblent indiquer qu'un lien étroit existe entre les opérateurs R0 et RU dans les cas quasi-périodiques, chaotiques et stochastiques d'écoulements incompressibles bidimensionnels.
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