Hauteurs pour les sous-schémas et exemples d'utilisation de méthodes arakeloviennes en théorie de l'approximation diophantienne
Résumé
In this thesis we define and study some notions in the context of Arakelov geometry that have an intrinsic interest and should find applications in diophantine approximation theory.
Most of the text is devoted to the elaboration of a theory of heights for subschemes and to the proof of ``Hilbert-Samuel formulae'' for these heights. For two important classes of subschemes (integral subschemes and ``smooth with multiplicities'' subschemes) we show that the height of the subscheme relative to a high power of a positive line bundle is asymptotically determined by the height of the associated cycle. The proof essentially uses the ``arithmetic Hilbert-Samuel theorem'' of Gillet and Soulé, and reduces to it using techniques from hermitian analytic geometry. Then we give a finer analysis of the asymptotic expansion of heights of certain particular subschemes. Notably, in the case of relative dimension zero, we express the constant term of the asymptotic expansion by means of the ramification of the subscheme, which solves a question of Michel Laurent concerning heights of interpolation matrices.
Finally, as an independant part, we show some applications of arakelovian methods to diophantine approximation problems. In particular, we give a new proof of a classical criterion for algebraic independance. The originality of this proof is that it does not use any elimination theory but only arguments from arithmetic intersection theory.
Most of the text is devoted to the elaboration of a theory of heights for subschemes and to the proof of ``Hilbert-Samuel formulae'' for these heights. For two important classes of subschemes (integral subschemes and ``smooth with multiplicities'' subschemes) we show that the height of the subscheme relative to a high power of a positive line bundle is asymptotically determined by the height of the associated cycle. The proof essentially uses the ``arithmetic Hilbert-Samuel theorem'' of Gillet and Soulé, and reduces to it using techniques from hermitian analytic geometry. Then we give a finer analysis of the asymptotic expansion of heights of certain particular subschemes. Notably, in the case of relative dimension zero, we express the constant term of the asymptotic expansion by means of the ramification of the subscheme, which solves a question of Michel Laurent concerning heights of interpolation matrices.
Finally, as an independant part, we show some applications of arakelovian methods to diophantine approximation problems. In particular, we give a new proof of a classical criterion for algebraic independance. The originality of this proof is that it does not use any elimination theory but only arguments from arithmetic intersection theory.
Dans cette thèse on définit et étudie un certain nombre de notions dans le cadre de la géométrie d'Arakelov qui, d'une part, possèdent un intérêt intrinsèque et, d'autre part, sont susceptibles d'applications à la théorie de l'approximation diophantienne.
La plus grande partie du texte est consacrée à l'élaboration d'une théorie des hauteurs pour les sous-schémas et à la preuve de «formules de Hilbert-Samuel» pour ces hauteurs. Pour deux classes importantes de sous-schémas (les sous-schémas intègres et les sous-schémas «lisses avec multiplicités») on montre que la hauteur du sous-schéma relativement à une grande puissance d'un fibré en droites positif est asymptotiquement déterminée par la hauteur du cycle associé. La démonstration repose essentiellement sur le «théorème de Hilbert-Samuel arithmétique» de Gillet et Soulé, auquel elle se ramène par l'utilisation de techniques de géométrie analytique hermitienne. On fait ensuite une analyse plus fine du développement asymptotique des hauteurs de certains sous-schémas particuliers. Notamment, dans le cas de la dimension relative zéro, on exprime le terme constant du développement asymptotique en fonction de la ramification du sous-schéma, ce qui résout une question de Michel Laurent sur les hauteurs des matrices d'interpolation.
Enfin, dans une partie indépendante, on expose diverses applications de méthodes arakeloviennes à des problèmes d'approximation diophantienne. En particulier on donne une nouvelle démonstration d'un critère classique d'indépendance algébrique dont l'originalité est qu'elle n'utilise plus de théorie de l'élimination mais uniquement des techniques de théorie de l'intersection arithmétique.
La plus grande partie du texte est consacrée à l'élaboration d'une théorie des hauteurs pour les sous-schémas et à la preuve de «formules de Hilbert-Samuel» pour ces hauteurs. Pour deux classes importantes de sous-schémas (les sous-schémas intègres et les sous-schémas «lisses avec multiplicités») on montre que la hauteur du sous-schéma relativement à une grande puissance d'un fibré en droites positif est asymptotiquement déterminée par la hauteur du cycle associé. La démonstration repose essentiellement sur le «théorème de Hilbert-Samuel arithmétique» de Gillet et Soulé, auquel elle se ramène par l'utilisation de techniques de géométrie analytique hermitienne. On fait ensuite une analyse plus fine du développement asymptotique des hauteurs de certains sous-schémas particuliers. Notamment, dans le cas de la dimension relative zéro, on exprime le terme constant du développement asymptotique en fonction de la ramification du sous-schéma, ce qui résout une question de Michel Laurent sur les hauteurs des matrices d'interpolation.
Enfin, dans une partie indépendante, on expose diverses applications de méthodes arakeloviennes à des problèmes d'approximation diophantienne. En particulier on donne une nouvelle démonstration d'un critère classique d'indépendance algébrique dont l'originalité est qu'elle n'utilise plus de théorie de l'élimination mais uniquement des techniques de théorie de l'intersection arithmétique.