Planar Brownian motion, SLE, conformal invariance and fractal dimensions
Mouvement brownien plan, SLE, invariance conforme et dimensions fractales
Résumé
This thesis is dedicated to the study of various geometric properties of planar Brownian motion and the SLE process (also known as stochastic Loewner evolution, or sometimes as Schramm’s process).
We prove that, on a typical planar Brownian path, there almost surely exist “pivoting” points, i.e. cut-points around which one half of the curve can rotate by a positive angle without ever intersecting the other half of the path; the set of all pivoting points of a given positive (small enough) angle is then of positive Hausdorff dimension. In fact, for every subset A of the complex plane, we describe an exceptional subset E_A of the path, defined in a geometric fashion. For each such A we define a generalized intersection exponent ξ(A) and prove that dim_H(E_A) = 2-ξ(A), so that E_A is non-empty as soon as ξ(A) < 2.
About SLE, the main result we obtain in this thesis is the computation of the Hausdorff dimension of its trace (i.e. of the curve generating it); that dimension is equal to 1 + κ/8, where κ is the parameter of the SLE — and this holds for any positive parameter smaller than 8 and different from 4 (for κ >= 8, the trace is a Peano curve hence has dimension 2). In passing we prove the almost sure existence of cut-points on every SLE with parameter smaller than 8.
We also study the problem of the generalization of the SLE process to non-simply connected domains; we show that the construction is doable for two particular values of the parameter (κ = 6 and κ = 8/3), using in each case specific properties of the corresponding SLE (respectively, the restriction property and locality), but the universality property of usual SLE is then lost.
Cette thèse est consacrée à l'étude de diverses propriétés géométriques du mouvement brownien planaire et du processus SLE (également connu sous le nom d'évolution stochastique de Loewner, ou parfois de processus de Schramm).
Nous prouvons que, sur un chemin brownien planaire typique, il existe presque sûrement des points de "pivotement", c'est-à-dire des points de coupe autour desquels une moitié de la courbe peut tourner d'un angle positif sans jamais croiser l'autre moitié du chemin ; l'ensemble de tous les points de pivotement d'un angle positif donné (suffisamment petit) est alors de dimension de Hausdorff positive. En fait, pour chaque sous-ensemble A du plan complexe, nous décrivons un sous-ensemble exceptionnel E_A du chemin, défini de manière géométrique. Pour chacun de ces A, nous définissons un exposant d'intersection généralisé ξ(A) et prouvons que dim_H(E_A) = 2-ξ(A), de sorte que E_A est non vide dès que ξ(A) < 2.
A propos du SLE, le résultat principal que nous obtenons dans cette thèse est le calcul de la dimension de Hausdorff de sa trace (c'est-à-dire de la courbe qui la génère) ; cette dimension est égale à 1 + κ/8, où κ est le paramètre du SLE - et ceci est valable pour tout paramètre positif plus petit que 8 et différent de 4 (pour κ >= 8, la trace est une courbe de Peano et a donc une dimension de 2). Au passage, nous prouvons l'existence presque sûre de points de coupure sur chaque SLE avec un paramètre plus petit que 8.
Nous étudions également le problème de la généralisation du processus SLE à des domaines non strictement connectés ; nous montrons que la construction est possible pour deux valeurs particulières du paramètre (κ = 6 et κ = 8/3), en utilisant dans chaque cas des propriétés spécifiques du SLE correspondant (respectivement, la propriété de restriction et la localité), mais la propriété d'universalité du SLE habituel est alors perdue.
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