Semi-classical study of a perturbation of a periodic Schrödinger operator
Etude semi-classique d'une perturbation d'un opérateur de Schrödinger périodique
Résumé
Assuming that V is periodic, we study the spectrum of Pt = -h2Δ + V + tδV acting on L2(Rn) when h tends to 0. We first show that Pt restricted to a convenient spectral interval is unitary equivalent to an operator that one may study with a Birman-Schwinger kernel. We then show that Pt admits at least one simple eigenvalue when t is not too small (depending on n) and we study the behaviour of this eigenvalue with respect to t.
Sous l'hypothèse que V est périodique, on étudie le spectre del'opérateur Pt = -h2Δ + V + tδV agissant sur L2(Rn) quand h tend vers 0. Pour ce faire, on ramène par équivalence unitaire l'opérateur Pt restreint à un intervalle spectral convenable, à un opérateur que l'on peut étudier grâce à un noyau de Birman-Schwinger. On montre alors l'existence d'au moins une valeur propre simple pour Pt quand t est assez grand (ceci dépendant de la dimension n) et on étudie le comportement de cette valeur propre en fonction de t.
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