Strong approximation of set-indexed partial sum processes
Approximation forte de processus de sommes partielles indexées par des ensembles
Résumé
Given a class S of subsets of [0,1]^d and an array (X_i)_i∈Zd+ of independent identically distributed R^k-valued random vectors with mean zero and with finite second moment, the (unsmoothed) partial-sum process X_ν is defined by X_ν(S) = ν^-d/2 Σ_i∈ νSX_i. If S is not too large (e.g. either S is a Vapnik-Chervonenkis class or S has an integrable metric entopy with inclusion), it is known since Alexander’s and Pyke’s works that a possibly smoothed version of the partial-sum process X_ν converges uniformly over S to the Brownian process indexed by S.
In the way opened by Komlós, Major, and Tusnády (1975 and 1976), we developp a method of approximation which allows us to prove strong invariance principles for a (possibly smoothed) version of the partial-sum process X_ν with some rate a_ν, depending only on some geometrical characteristics of S, and on the tail distribution of X_i.
For instance, when S is the Vapnik-Chervonenkis class of Euclidean balls, and when the random vectors X_i have a finite r-th moment for some r > 2, a_ν may be taken as a_ν = ν^-1/2(log ν)^1/2 + ν^-d/2 ν^d/r a.s. ; when S is the class of subsets of [0,l]^d with α-differentiable boundaries introduced in Dudley (74), when α > d - 1, a_ν may be taken as a_ν = ν^(d-1-α)/2α + ν^-d/2ν^d/r. In the particular case when d = 2 and S is the class of lower-left orthants, we show that a_ν may be taken as ν^1-2/r(log ν)^2 a.s.. Moreover, starting from Beck’s works (85 and 87), we prove that any of the above rates of approximation is optimal, up to a possible power of log ν.
Soit S une classe de parties du cube unité [0,1]^d et soit (X_i)_i∈Zd+ un champ de vecteurs aléatoires à valeurs dans R^k, indépendants et équidistribués, de variance finie et de moyenne nulle. Le processus de sommes partielles X_ν associé au champ X et à la classe S est alors défini par X_ν(S) = ν^-d/2 Σ_i∈ νSX_i pour tout S de S. Alexander et Pyke (86 et 87) ont montré, que si S est une classe de Vapnik-Chervonenkis ou si S a une entropie avec inclusion intégrable, alors le processus X_ν, ou une version régularisée de ce processus dans le second cas, converge uniformément sur S vers un processus gaussien indexé par S.
Dans la voie ouverte par Komlós, Major et Tusnády (1975 et 1976), nous développons une technique d'approximation qui permet de montrer un principe d'invariance fort pour le processus X_ν (éventuellement régularisé) avec une vitesse de convergence a_ν au dépendant uniquement de S et de la queue de distribution des variables X_i.
Par exemple, si les variables X_i ont un moment d'ordre r strictement supérieur à 2 fini, et si S est la classe de Vapnik-Chervonenkis constituée par les boules euclidiennes, alors l'approximation forte vaut avec a_ν = ν^-1/2(log ν)^1/2 + ν^-d/2 ν^d/r p.s. ; si S est la classe de parties à bords α-différentiables introduite par Dudley (74) et si α > d - 1, alors a_ν = ν^(d-1-α)/2α + ν^-d/2ν^d/r. De plus, si d = 2 et si S est la classe des quadrants, on montre que l'approximation forte vaut avec a_ν = ν^-1+2/r(log ν)^2. Enfin, en utilisant des techniques développées par Beck (85 et 87) on montre que, pour les trois exemples cités ci-dessus, les vitesses obtenues sont optimales, à un facteur logarithmique près.
| Origine | Fichiers produits par l'(les) auteur(s) |
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