Coverings of the plane by self-avoiding curves which satisfy the local isomorphism property - CNRS - Centre national de la recherche scientifique Access content directly
Preprints, Working Papers, ... Year : 2023

Coverings of the plane by self-avoiding curves which satisfy the local isomorphism property

Recouvrements du plan par des courbes auto-évitantes qui satisfont la propriété d’isomorphisme local

Abstract

A self-avoiding plane-filling curve cannot be periodic, but we show that it can satisfy the local isomorphism property. We investigate three families of coverings of the plane by finite sets of nonoverlapping self-avoiding curves which satisfy that property in a strong form. These curves are respectively inductive limits of: 1) n-folding square curves such as the dragon curve, obtained by folding n times a strip of paper in 2 and unfolding it with 90° angles; 2) n-folding triangular curves such as the terdragon curve, obtained by folding n times a strip of paper in 3 and unfolding it with 60° angles; 3) generalizations of Peano-Gosper curves. In each family, the coverings consist of a small number of curves (at most 6), and in many examples only 1 curve. We do not know presently if similar examples exist in spaces of dimension 3 or more.
Une courbe auto-évitante qui remplit le plan ne peut pas être périodique, mais on montre qu’elle peut satisfaire la propriété d’isomorphisme local. On met en évidence trois familles de recouvrements du plan par des ensembles finis de courbes auto-évidentes disjointes qui satisfont une version forte de cette propriété. Ces courbes sont respectivement des limites inductives de: 1) n-courbes de pliage en carré telles que la courbe du dragon, obtenues en pliant n fois une bande de paper en 2 et en la dépliant avec des angles de 90°; 2) n-courbes de pliage en triangle telles que la courbe du terdragon, obtenues en pliant n fois une bande de paper en 3 et en la dépliant avec des angles de 60°; 3) généralisations des courbes de Peano-Gosper. Dans chaque famille, les recouvrements comportent un petit nombre de courbes (au plus 6), et dans beaucoup d’exemples une seule courbe. On ne sait pas actuellement si de tels exemples existent dans des espaces de dimension 3 ou plus.
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Dates and versions

hal-04264721 , version 1 (30-10-2023)

Identifiers

  • HAL Id : hal-04264721 , version 1

Cite

Francis Oger. Coverings of the plane by self-avoiding curves which satisfy the local isomorphism property. 2023. ⟨hal-04264721⟩
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