A Hamilton-Jacobi approach to nonlocal kinetic equations - CNRS - Centre national de la recherche scientifique
Journal Articles Nonlinearity Year : 2024

A Hamilton-Jacobi approach to nonlocal kinetic equations

Une approche Hamilton-Jacobi aux équations cinétiques non locales

Abstract

Highly concentrated patterns have been observed in a spatially heterogeneous, nonlocal, model of BGK type implementing a velocity-jump process. We study both a linear and a nonlinear case and describe the concentration profile. In particular, we analyse a hyperbolic (or high frequency) regime that can be interpreted both as a local (microscopic) or as a nonlocal (macroscopic) rescaling. We consider a Hopf-Cole transform and derive a Hamilton-Jacobi equation. The concentrations are then explained as a consequence of the stationary points of the Hamiltonian that is spatially heterogeneous like the velocity-jump process. After revising the classical hydrodynamic limits for the aggregate quantities and the eikonal equation that can be derived from those with a Hopf-Cole transform, we find that the Hamilton-Jacobi equation is a second order approximation of the eikonal equation in the limit of small diffusivity. For nonlinear turning kernels, the Hopf-Cole transform allows to study the stability of the possible homogeneous configurations and of patterns and the results of a linear stability analysis previously obtained are found and extended to a nonlinear regime. In particular, it is shown that instability (pattern formation) occurs when the Hamiltonian is convex-concave.
Des solutions avec fortes concentrations ont été observés dans un modèle spatialement hétérogène, non local, de type BGK avec saut de vitesse. Nous étudions à la fois un cas linéaire et un cas non linéaire et décrivons le profil de concentration. En particulier, nous analysons un régime hyperbolique (ou à haute fréquence) qui peut être interprété à la fois comme un changement d'échelle local (microscopique) ou non local (macroscopique). Nous utilisons une transformation de Hopf-Cole et dérivons une équation de Hamilton-Jacobi. Les concentrations sont alors expliquées comme une conséquence des points stationnaires de l'hamiltonien qui est spatialement hétérogène comme le processus de saut de vitesse. Après avoir dériver les limites hydrodynamiques classiques pour les quantités agrégées et l'équation eikonal qui peut en être dérivée par une transformée de Hopf-Cole, nous trouvons que l'équation d'Hamilton-Jacobi est une approximation du second ordre de l'équation eikonal dans la limite d'une petite diffusivité. Pour les noyaux de saut non linéaires, la transformation de Hopf-Cole permet d'étudier la stabilité des configurations homogènes possibles et des motifs de concentration. Les résultats d'une analyse de stabilité linéaire obtenus précédemment sont retrouvés et étendus à un régime non linéaire. En particulier, il est montré que l'instabilité (formation de motifs) se produit lorsque l'hamiltonien est convexe-concave.
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Dates and versions

hal-04428238 , version 1 (31-01-2024)

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Nadia Loy, Benoît Perthame. A Hamilton-Jacobi approach to nonlocal kinetic equations. Nonlinearity, 2024, 37 (10), pp.105019. ⟨10.1088/1361-6544/ad75dd⟩. ⟨hal-04428238⟩
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